［問題］
たし算は2つの数から1つの数を求める計算で，3つ以上
の数をたすときには，2つの数のたし算をくり返していくこ
とになります．
たとえば1＋2＋3や1＋2＋3＋4を，カッコを用いて2つ
のたし算で書き表す方法は，次のようにそれぞれ2通り，5
通りあります．
1＋(2＋3)，(1＋2)＋3
1＋(2＋(3＋4))，(1＋2)＋(3＋4)，((1＋2)＋3)＋4，
1＋((2＋3)＋4)，(1＋(2＋3))＋4
[注意] たくさんの数をたす場合も考えて，{ }や[ ]を使わずに( )だけを用いています．
1＋(3＋2)のように，たす数を並べかえることは考えません．
このような式を完全式と呼ぶことにします．このような書き方になっていない，次のような式などは完全式ではありません．
1＋2＋3 (3つをたしている)
1＋(2＋3)＋4 (1と(2＋3)と4の3つをたしている)
(1＋2＋3)＋4 (1と2と3の3つをたしている)
1＋2＋3＋4 (4つをたしている)
このとき，次の問いに答えなさい．
(1) 1＋2＋3＋4＋5には何通りの完全式がありますか．
(2) 1＋2＋3＋4＋5＋6の完全式のうちで，
1＋(2＋(3＋(4＋(5＋6))))のように1がカッコに囲まれな
いものは全部で何通りありますか．
(3) 1＋2＋3＋4＋5＋6の完全式のうちで，
(1＋(2＋3))＋(4＋(5＋6)))のように3と4の間の＋が
カッコに囲まれないものは全部で何通りありますか．
(4) 1＋2＋3＋4＋5＋6には何通りの完全式がありますか．
(01 洛南高附)
■[解答] ■
(1) ① 1＋(2＋3＋4＋5) のタイプ
部へのカッコのつけ方を考えると，
問題文の例の「1＋2＋3＋4」へのカッコ
のつけ方と同じで5通り．
② (1＋2)＋(3＋4＋5) のタイプ
部へのカッコのつけ方を考えると，
問題文の例の「1＋2＋3」へのカッコの
つけ方と同じで2通り．
③ (1＋2＋3)＋(4＋5) のタイプ
②と同じ2通り．
④ (1＋2＋3＋4)＋5のタイプ
①と同じ5通り．
以上により，5＋2＋2＋5＝14 (通り)
(2) 1＋(2＋3＋4＋5＋6) のタイプだから，
部へのカッコのつけ方を考えると，
(1)の「1＋2＋3＋4＋5」へのカッコのつ
け方と同じで14通り．
(3) (1＋2＋3)＋(4＋5＋6) のタイプ．
2つの 部へのカッコのつけ方は，そ
れぞれ2通りずつあるから，答えは，
2×2＝4 (通り)
(4) 1＋2＋3＋4＋5＋6の完全式には，
(2)，(3)以外に，
① (1＋2)＋(3＋4＋5＋6)
② (1＋2＋3＋4)＋(5＋6)
③ (1＋2＋3＋4＋5)＋6
のタイプがある．
部へのカッコのつけ方を考えると，①のタイプは5通り．
②のタイプは，①と同じで5通り．
③のタイプは，(2)と同じで14通り．
以上により，答えは，
14＋4＋5＋5＋14＝42(通り)
なぜ，“カッコのつけ方”が
「カタラン数」と一致するのか？
たとえば，
㋐ 1＋(2＋3) や ㋑ (1＋2)＋3
を日本語に読みくだすと，
㋐ 1＋(2＋3)
…「1に，2と3をたしたものをたす」
㋑ (1＋2)＋3
…「1に2をたしたものに，3をたす」
となります．
ここで， 部を順に，数や＋ (プラス)
の記号で書き連ねると，
㋐ 1＋(2＋3) …“123＋＋”
㋑ (1＋2)＋3 …“12＋3＋”
となります．
これらの数や＋の列を左から順に見ていくと，「数の個数」がいつでも「＋の個数」を上回っていますね．
㋑では，
となります．
“＋” の記号が現れる前には，必ず“〇と△を”という言い回しがあるはずなので，
「数の個数」がいつでも「＋の個数」を上回るのです．
すると，例の経路の数を数える話です．
上の図の 線を上に超えない経路の数を書き込むと，カッコのつけ方の総数が求められるというワケです．
本問の (4) では，数が6個，＋が5個ですから，一番右上の，42通りが答えとなります．