■■ 問題 ■■
■■ 問題 ■■ （文字データ）
多角形の中で交わらないように、頂点どうしを直線で結んで、多角形を三角形に分けます。このときできる三角形の頂点は、すべて多角形の頂点であるとします。
例えば四角形は、（右の図のように）2通りの分け方があります。
このとき、次の多角形は、幾通りの分け方がありますか。
（1）五角形 （2）六角形 （3）七角形
（99 ラ・サール）
■■ 解答 ■■
ここでは，【他では聞けない『高校への数学』編集長セレクション】/カタラン数Ａの“カッコのつけ方”の問題（洛南高附01）と関連付けて解説してみます．
下の図1のような六角形で考えてみましょう．六角形の6つの辺のうち5つに，順にa，b，c，d，eと記号を振っておきます．

次に，図2は条件を満たすような分け方の1つです．分けるときに引いた直線は，①，②，③で，六角形の，記号を付けなかった辺を④とします．

すると図2で，
・①はa，bの辺をつないでいるので，
①＝a＋b
・②は①，cの辺をつないでいるので，
②＝①＋c＝(a＋b)＋c
・③はd，eの辺をつないでいるので，
③＝d＋e
・④は②，③の辺をつないでいるので，
④＝②＋③＝((a＋b)＋c)＋(d＋e)
となり，5文字の和a＋b＋c＋d＋eの“完全式”の1つができました．異なる分け方をした場合には，異なる完全式ができます．また，すべての完全式から異なる分け方が復元できるので，結局，本問は前問
と同じカタラン数の問題だとわかります．
まとめると，
“n角形の分け方”
＝“(n－1)個の数の和の完全式の個数”
です(図1で，辺につけた記号が，辺の数より1つ少なかったことに注意しましょう)．
そんなわけで，答えは次の通りです．
(1) 五角形の分け方は，4個の数の和の完全式の個数と同じで，5通り．
(2) 六角形の分け方は，5個の数の和の完全式の個数と同じで，14通り．
(3) 七角形の分け方は，6個の数の和の完全式の個数と同じで，42通り
